2048的理论最大值

看到一个很有意思的题目，说2048这款游戏的理论最大值是多少呢?

游戏规则是这样的，游戏在一个 4 × 4 的棋盘上进行，棋盘里填有一个个的“数块”，每个数块上都写有某个形如 2n 的正整数。每一步，你需要从上、下、左、右四个方向中选取一个方向，按下对应的方向键之后，所有的数块都会“落”到这个方向；若有两个同种的数块在此过程中发生碰撞，则它们的值会相加起来，并合成一个新的数块。然后，系统会在棋盘中随机选择一个空白位置，并在此生出一个新的数块，上面写有数字 2 或者数字 4 （两种情况之比为 9 : 1）。游戏开始时，棋盘上会自动生成两个随机的数块，你的目标就是通过有限步的操作，得出一个写有 2048 的数块。当然，即使得到了 2048 这个数块，游戏也不会自动结束，你还可以向更大的数发起挑战。于是就有了我们刚才的问题：理论上，这个游戏当中能够得到的最大的数是多少？

这里先给出答案，最大值为2^17，也就是说，我们永远不可能在 2048 当中玩出 2^18 这个数。

为什么呢？

我查阅过一些博客，好多文章里讲的过于理论化，估计没有一些计算机基础的人不太好理解。因此我这里尽量简单的来说明这个问题。

当我们只有一个格子的时候，我们的最大值为多少呢？

按照规则，最大值肯定为4，即2^(1+1)。

那么两个格子呢？答案是8【2^(2+1)】,因为8会占用一个格子，剩下的一个格子最大值才为4，因此此时肯定形成一个4和一个8的局面导致游戏结束。

那同理，假设我们有三个排成一排的棋牌，我们的理论最大值就为16[2^(3+1)]。

所以，按照上面的规则，四个格子就为32【2^(4+1)】。

最后，我们就可以推出，2048游戏16个格子的理论最大值就为2^(16+1)=131072 。得到这个结果的最后一步一定是这个样子的：

当你把这个过程完成后，整个棋盘上只有一个131072 ，我们无法通过剩余的15个格子来完成另一个131072 ，因此，131072 是整个游戏的最大值。

因此131072就是理论的最大值，那么131073就一定会达到吗？肯定不一定，这跟运气有很大关系。如果最后出现的不是4，而是2像下面这样：

那么此时很明显GAME OVER了。

说完了理论的最大值，我不禁在想，那么2048游戏的理论最小值是多少呢？

不要费脑筋了，是4。